Тақырып: Қатты дене механикасы\r\n\r\n \r\n\r\nЖалпы өмірде кездесетін жағдайда дененің деформациясын елемеуге болатын немесе дененің екі нүктесінің (яғни екі бөлшегінің) ара қашықтығы өзгермей сақталатын денелерді абсолют қатты денелер деп айтамыз.\r\n\r\nАйналмалы қозғалыс кезінде қатты денелердің барлық нүктелері шеңбер бойымен қозғалады, олардың центрлері айналу осі деп аталатын бір түзудің бойында жатады. Айналмалы қозғалысты сипаттау үшін кеңістіктегі айналу осінің қалпын және әрбір уақыт мезетіндегі дененің бұрыштық жылдамдығын білу керек. Қатты дененің айналысын қарастырған кезде инерция моменті деген ұғым енгіземіз.\r\n\r\nҚатты дененің немесе материалдық нүктенің айналу осіне қатысты инерция моменті деп дененің немесе материалдық нүктенің массасы мен қарастырылып отырған оське дейінгі арақашықтығының квадратының көбейтіндісіне тең физикалық шаманы айтады:\r\n\r\nҚатты дененің өзі жеке-жеке материалық нүктелер жиынтығынан тұрады. Сондықтан қатты денені материалық нүктелер жиынтығы ретінде де қарастыруға болады.\r\n\r\nЖүйенің (дененің) айналу осіне қатысты инерция моменті деп осы жүйені құрайтын материалдық нүктелердің массаларының қарастырылып отырған оське дейінгі арақашықтықтың квадратының көбейтіндісінің қосындысына тең шаманы айтады:\r\n\r\nМассасы бірқалыпты таралған дене үшін бұл сумма барлық көлемі бойынша интегралданады: мұндағы\r\n\r\nМысал: Біртекті тұтас цилиндрдің инерция моментін табайық. Цилиндр биіктігін , ал оның радиусын деп алайық. Цилиндрді кішкене бөліктерге бөлеміз, қалыңдығы тең. Оның ішкі радиусы r, ал сыртқы радиусы тең.\r\n\r\n \r\n\r\nӘрбір кішкене цилиндірдің инерция моменті , мұндағы цилиндрдың барлық нүктесінің осьтен арақашықтығы әрі ескереміз, ал -барлық элементар цилиндрдің массасы.\r\n\r\nҚарастырылып отырған элементар цилиндрдің көлемі: ,\r\n\r\nегер — материалдың тығыздығы болса,\r\n\r\nонда яғни оның массасы, ал элементар инерция моменті болады.\r\n\r\nСонда тұтас цилиндрдің инерция моменті:\r\n\r\nбұдан -цилиндрдің көлемі, ал оның массасы болады. Сонда цилиндрдің инерция моменті:\r\n\r\n \r\n\r\nБұдан басқа кейбір денелердің иерция моменттері:\r\n
- \r\n
- Радиусы болатын шардың центрі арқылы өтетін оське қатысты инерция моменті
\r\n
\r\n \r\n\r\n \r\n
- \r\n
- Ұзындығы стерженге перпендикуляр әрі оның ортасы арқылы өтетін оське қатысты инерция моменті
\r\n
\r\n \r\n
- \r\n
- Ұзындығы стерженге перпендикуляр және оның бір ұшы арқылы өтетін оське қатысты инерция моменті
\r\n
\r\n \r\n\r\nЕгер айналатын қатты дененің ауырлық центрі арқылы өтетін оське айланысты инерция моменті белгілі болса, онда оның кез-келген осы оське параллель осьтен айналғандағы инерция моменті Штейнер теоремасы арқылы анықталады:\r\n
- \r\n
- кез-келген оське қатысты инерция моменті – берілген оське параллель және дене инерциясының центрі арқылы өтетін оське қатысты инерция моменті мен дененің массасының осьтер арасындағы арақашықтығының квадратына көбейтіндісінің қосындысына тең:
\r\n
\r\n \r\n\r\nАйналыстың кинетикалық энегиясы. Абсолют қатты дененің қозғалмайтын осьтен айналысын қарастырайық. Осы денені ойша кішкене көлемшелерге бөлейік, оның массалары айналмайтын осьтен қашықта болсын. Қатты денелердің оське қатысты айналысында массалары әр түрлі радиусты шеңберлер сыза қозғалып, сызықтық жылдамдыққа ие болады.\r\n\r\nБірақ біздің қарастырып отырғанымыз абсолют қатты дене болғандықтан, оның қозғалысының бұрыштық жылдамдығы бірдей болады:\r\n\r\nДененің айналмалы қозғалысының кинетикалық энергиясы оның жеке бөліктерінің кинетикалық энергиясынан құралады:\r\n\r\nнемесе\r\n\r\n \r\n\r\nбұған енді i=riω өрнегін пайдалансақ:\r\n\r\nСонымен, қозғалмайтын остьтен айналатын дененің кинетикалық энергиясы деп, осы оське қатысты инерция моменті мен бұрыштық жылдамдықтың квадратының көбейтіндісінің жартысына тең шаманы айтады:\r\n\r\n \r\n\r\nБұл өрнек ілгерімелі қозғалатын дененің кинетикалық энергиясына ұқсас келеді. Айналмалы қозғалыс кезінде массасының рөлін инерция моменті, ал сызықтық жылдамдық рөлін бұрыштық жылдамдық атқарады. Көлбеу жазықтықтан домалап келе жатқан дененің, мысалы цилиндрдің, кинетикалық энергиясы ілгерімелі қозғалыс энергиясы мен айналмалы қозғалыс энергиясының қосындысынан тұрады:\r\n\r\n \r\n\r\nКүш моменті. Қозғалмайтын 0 нүктесіне байланысты күш моменті деп, 0 нүктесінен нүктесіне жүргізілген радиус-вектор векторы мен оған түскен күшінің көбейтіндісіне тең физикалық шаманы айтады:\r\n\r\n \r\n\r\n \r\n
\r\n
\r\n |
\r\nМұндағы псевдовектор, оның бағыты — ден -ке қарай бұрағандағы оң бұранданың ілгерімелі қозғалыс бағытымен бағыттас. Күш моментінің модулі:\r\n\r\n \r\n\r\nмұндағы бұрышы мен арасындағы бұрыш, – бұл 0 нүктесі мен әсер етуші күш сызығының арасындағы ең қысқа арақашықтық күш иіні деп аталады. Сонда күш моменті айналдырушы күш пен айналу осіне дейінгі ең қысқа арақашықтық, иіннің көбейтіндісіне тең.\r\n\r\nЕнді осы денені айналдырған кездегі жұмыстың өрнегін анықтайық. Айналмайтын 0 осьтен қашықтығы нүктесіне күші әсер етсін. Күштің бағыты мен векторының арасындағы бұрыш —ға тең.\r\n\r\nДенеміз абсолют қатты дене болғандықтан, осы айналдырушы күш жұмысы осы дененің түгел бұрылуына жұмсалған жұмысына тең. Дене өте азғантай dφ бұрышқа бұрылған кезде, В нүктесі dS жол жүреді: dS=rdφ. Бұрылған кездегі істелген жұмыс бұрылу бағытына түсірілген күш проекциясы мен бұрылу шамасының көбейтіндісіне тең: , мұндағы , сонда . Бізге бұрыннан r sinα = l иінді береді, ал күш моментін береді. Сондықтан\r\n\r\n \r\n\r\nяғни денені айналдырғандағы істелінген жұмыс әсер етуші күш моменті мен бұрылу бұрышының көбейтіндісіне тең.\r\n\r\nДенені айналдырғанда істелінген жұмыс оның кинетикалық энергиясының өсуіне жұмсалады:\r\n\r\nбірақ , сондықтан немесе ескере отырып, мына өрнекті аламыз:\r\n\r\n \r\n\r\nДенеге әсер етуші күш моменті дененің инерция моменті мен бұрыштық үдеуінің көбейтіндісіне тең: – қозғалмайтын оське қатысты қатты дененің айналмалы қозғалысының динамикалық теңдеуін береді.\r\n\r\nИмпульс моменті және оның сақталуы. Айналмалы қозғалыс пен ілгерімелі қозғалысты салыстырайық, яғни дененің импульсінің аналогы қандай шама болатынын қарастырайық.\r\n\r\n0 қозғалмайтын оське қатысты А материалдық нүктенің импульс моменті және векторлардың көбейтіндісімен анықталатын физикалық шама болып табылады:\r\n\r\n \r\n\r\nмұндағы — 0 нүктесінен нүктесіне жүргізілген радиус – вектор, — материалдық нүктенің импульсі немесе қозғалыс мөлшері.\r\n\r\n- псевдовектор, оның бағытын оң бұрғанда ережесімен -дан -ға айналдыра бұрғанда ілгерімелі қозғалысының бағытымен бағыттас болады. Импульс моментінің модулі:\r\n\r\n \r\n\r\nмұндағы rsinα=l – 0 нүктесіне қатысты векторының иіні, ал α — мен векторларының арасындағы бұрыш.\r\n\r\nИмпульс моменті иін мен материалдық нүктенің импульсінің көбейтіндісіне тең.\r\n\r\nЕнді кез-келген і нүктесінің немесе mi дене бөлшегінің массасының қозғалмайтын оське қатысты импульс моментін анықтаймыз. Абсолют қатты денені қозғалмайтын оське қатысты айналдыра қоссақ, онда осы дененің әрбір жеке нүктесі осы оське қатысты тұрақты ri радиуспен және i сызықтық жылдамдықпен шеңбер сыза қозғалады. жылдамдығы мен mі импульсі осы радиусқа перпендикуляр бағытталған, яғни радиус осы векторының иіні болып табылады. Сондықтан әрбір жеке бөлшектің импульс моментін былай жазамыз:\r\n\r\n \r\n\r\nАл қозғалмайтын оське қатысты абсолют қатты дененің импульс моменті әрбір жеке бөлшектерінің импульс моменттерінің суммасына тең:\r\n\r\n \r\n\r\nБізге бұрыннан белгілі пайдалана отырып, былай жазамыз:\r\n\r\n \r\n\r\nСонымен қозғалмайтын оське қатысты қатты дененің импульс моменті осы оське қатысты дененің инерция моменті мен бұрыштық жылдамдықтың көбейтіндісіне тең.\r\n\r\nСоңғы өрнекті уақыт бойынша дифференциалдасақ:\r\n\r\nяғни\r\n\r\nБұл өрнек қатты дененің айналмалы қозғалыс динамикасының тағы бір түрін береді. Қозғалмайтын оське қатысты қатты дененің импульс моментінің уақыт мезетіндегі өзгерісі осы оське қатысты күш моментіне тең болады.\r\n\r\nЕгер біз тұйық жүйе алсақ, онда сыртқы күш моменті =0 бұдан\r\n\r\n, олай болса Соңғы өрнек импульс моментінің сақталу заңын береді: тұйық жүйенің импульс моменті сақталады, яғни уақыт өтуімен өзгермейді. Импульс моментінің сақталу заңы табиғаттың фундаменталды заңы.\r\n\r\nИмпульс моментінің сақталуын үйкеліссіз вертикаль осьтен айналатын Жуковский орындығына адамды тұрғызып көрсетуге болады.\r\n\r\nкөбейсе, ω азаяды немесе азайса, ω көбейеді.
