Логарифмдік теңдеулерді шешу барысында көп жағдайда логарифмнің қасиеттері қолданылады. Логарифмдік теңдеулерді қарастырмас бұрын жалпы логарифмдік теңдеу анықтамасын және логарифмнің қасиетттерін еске түсірейік. Айнымалысы логарифм белгісінің ішінде болатын теңдеуді логарфмдік теңдеу деп атайды.
Теңдеулерді шығару барысында қолданылатын логарифм қасиеттері:
1. ?????=1
2. ????1=0
3. ?????+?????=????(?∙?)
4. ?????−?????=??????
5. ????(?)?=??????
6. ?????=??????????
?????+????? , ?????−????? өрнегінің басқа өрнекпен алмастырылуына байланысты берілген өрнектің анықталу облысы кеңейе түсетіндіктен, өрнектердің анықталу облысы келесі теңсіздіктер жүйесімен беріледі {?(?)>0,?(?)>0, ал ????(?∙?), ?????? өрнектерінің анықталу облысы {?(?)>0,?(?)>0, {?(?)<0,?(?)<0 теңсіздіктер жүйесімен беріледі.
Енді логарифмдік теңдеулерді шешу тәсілдерін қарастырайық.
1. Логарифмнің анықтамасын қолдану арқылы шығарылатын теңдеулер.
Мысал-1. ???3(2?−1)=2 теңдеуін шешейік.
Шешуі: Теңдеуді логарифмнің анықтамасын қолдану арқылы
2x−1=32 теңдеуіне келтіреміз, онда ?=5 болады.
Табылған мәнді теңдеуге қойып тексереміз: ???3(2∙5−1)=???39=2.
?=5 мәні теңдеуді қанағаттандырады.
Жауабы: 5.
2. Потенциалдауды қолдану үшін логарифмдік теңдеуді ?????(?)=?????(?) түріне келтіру.
Бұл теңдеу мына жүйемен мәндес
{?(?)=?(?)?(?)>0,?(?)>0.
Мысал-1. ???5(?+1)=???5(4?−5) теңдеуін қарастырайық.
Шешуі: Теңдеудің мүмкін мәндер жиынын анықтайық: {?+1>0,4?−5>0⇒{?>−1,?>1,25
х — айнымалысының мүмкін мәндер жиыны (1,25;+∞) аралығы болады.
?+1=4?−5 теңдеуін шешіп, ?=2 мәнін аламыз. Табылған шешім мүмкін мәндер жиынында жатады.
Жауабы: 2.
Мысал-2. ???6(2?2−?)=1−???62 теңдеуін шешейік.
Шешуі: теңдеудегі 1 санын логарифмнің ?????=1 (1) қасиетін қолдана отырып,берілген теңдеудің негізі бойынша
???6(2?2−?)=???66−???62 теңдеуін аламыз.
Енді ?????−?????=?????? қасиетін қолдана отырып, теңдеудің оң жағындағы айырманы бөлшек түріне келтіреміз.
???6(2?2−?)=???6(62) ,
???6(2?2−?)=???63,
2?2−?−3=0, теңдеуінің шешімі ?=−1,?=1,5.
Табылған мәнді теңдеуге қойып тексереміз:
1) ???6(2?2−?)=1−???62,
???6(2∙(−1)2−(−1))=???63
???63=???63,
2) ???6(2?2−?)=1−???62 ???6(2∙(1,5)2−1,5)=???63 ???63=???63
Жауабы: -1; 1,5.
3. Жаңа айнымылыны енгізу тәсілі.
Мысал-1. 2???32?−7???3?+3=0 теңдеуін шешейік.
Шешуі: ???3? өрнегін ? арқылы өрнектейік.
2?2−7?+3=0 теңдеуін аламыз, теңдеудің шешімдері ?1=3,?2=0,5.
Енді x айнымалысының мәндерін анықтайық:
1)???3?=3,?=27
2) ???3?=12,?=√3
Табылған мәндерді теңдеуге қойып тексереміз:
1) 2???3227−7???327+3=0, 2∙32−7∙3+3=18−21+3=0,0=0.
2) 2???32√3−7???3√3+3=0 ,2∙(12)2−7∙12+3=0,12−72+3=0,0=0.
?=√3,?=27 мәндері теңдеуді қанағаттандырады.
Жауабы: 27;√3.
4. Мүшелеп логарифмдеу тәсілі.
Мысал-1. ????2?−3=16 теңдеуін шешейік.
Шешуі: Берілген теңдеуді дәреженің қасиетін пайдаланып,
????2?∙?−3=16 , ????2?=16?3 былай жазып алайық. Шыққан теңдеуді негізін 2-ге тең етіп логарифмдейік және теңдіктің оң жағын ?????+?????=????(?∙?) (3) қасиетті пайдаланып, көбейтіндіні қосындымен алмастырайық: ???2?∙???2?=???216+???2?3, ???22?=4+3???2?, ???22?−3???2?−4=0.
Енді ???2? өрнегін ? арқылы өрнектейік. Сонда ?2−2?−4=0 теңдеуін аламыз. Бұл теңдеудің шешімдері ?1=4,?2=−1.
Енді x айнымалысының мәндерін анықтайық:
1)???2?=4,?=16
2) ???2?=−1,?=12
Табылған мәндерді теңдеуге қойып тексереміз:
1) 16???216−3=16,164−3=16,16=16.
?=16 мәні теңдеуді қанағаттандырады.
2) 12???212−3=16,12−1−3=16, 24=16,16=16.
?=12 мәні теңдеуді қанағаттандырады.
Жауабы: 12; 16.
Логарифмдік теңдеулерді шешу барысында бұл берілген тәсілдерге келмейтін теңдеулер беріледі. Мысалға негіздері әртүрлі логарифмдік теңдеулер кездеседі. Мұндай жағдайда жаңа негізге көшу формуласын қолданамыз.
Жалпы логарифмдік теңдеулерді шешу үшін түрлі теңдеулер мен теңсіздіктерді, теңсіздіктер жүйелерін сабақтастырып оқыту қажет екеніне көзіміз жетеді.
Адылханова Айгуль Бакытбековна
Авиация колледжі,
математика пәнінің оқытушысы
Қолданылған әдебиеттер тізімі:
1. «Алгебра және анализ бастамалары». Алматы «Атамұра» 2019, 10 сынып, А.Н.Шыныбеков, Д.А. Шыныбеков, Р.Н.Жумабаев.
2. «Алгебра және анализ бастамалары».Алматы «Мектеп»2014, 10 сынып,
А.Е .Әбілқасымова, З.А.Жұмағұлова, К.Д. Шойынбеков, В. Е. Корчевский
