Логарифмдік теңдеулерді дамыту, оқыту әдестемесі

0
279

Логарифмдік теңдеулерді шешу барысында көп жағдайда логарифмнің қасиеттері қолданылады. Логарифмдік теңдеулерді қарастырмас бұрын жалпы логарифмдік теңдеу анықтамасын және логарифмнің қасиетттерін еске түсірейік. Айнымалысы логарифм белгісінің ішінде болатын теңдеуді логарфмдік теңдеу деп атайды.

Теңдеулерді шығару барысында қолданылатын логарифм қасиеттері:

1. 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑎=1

2. 𝑙𝑜𝑔𝑎1=0

3. 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏+𝑙𝑜𝑔𝑎𝑐=𝑙𝑜𝑞𝑎(𝑏∙𝑐)

4. 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏−𝑙𝑜𝑔𝑎𝑐=𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏𝑐

5. 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑏)𝑛=𝑛𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏

6. 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥=𝑙𝑜𝑔𝑏𝑥𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏+𝑙𝑜𝑔𝑎𝑐 , 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏−𝑙𝑜𝑔𝑎𝑐 өрнегінің басқа өрнекпен алмастырылуына байланысты берілген өрнектің анықталу облысы кеңейе түсетіндіктен, өрнектердің анықталу облысы келесі теңсіздіктер жүйесімен беріледі {𝑓(𝑥)>0,𝑔(𝑥)>0, ал 𝑙𝑜𝑞𝑎(𝑏∙𝑐), 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏𝑐 өрнектерінің анықталу облысы {𝑓(𝑥)>0,𝑔(𝑥)>0, {𝑓(𝑥)<0,𝑔(𝑥)<0 теңсіздіктер жүйесімен беріледі.

Енді логарифмдік теңдеулерді шешу тәсілдерін қарастырайық.

1. Логарифмнің анықтамасын қолдану арқылы шығарылатын теңдеулер.

Мысал-1. 𝑙𝑜𝑔3(2𝑥−1)=2 теңдеуін шешейік.

Шешуі: Теңдеуді логарифмнің анықтамасын қолдану арқылы

2x−1=32 теңдеуіне келтіреміз, онда 𝑥=5 болады.

Табылған мәнді теңдеуге қойып тексереміз: 𝑙𝑜𝑔3(2∙5−1)=𝑙𝑜𝑔39=2.

𝑥=5 мәні теңдеуді қанағаттандырады.

Жауабы: 5.

2. Потенциалдауды қолдану үшін логарифмдік теңдеуді 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔𝑎𝑔(𝑥) түріне келтіру.

Бұл теңдеу мына жүйемен мәндес

{𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)𝑓(𝑥)>0,𝑔(𝑥)>0.

Мысал-1. 𝑙𝑜𝑔5(𝑥+1)=𝑙𝑜𝑔5(4𝑥−5) теңдеуін қарастырайық.

Шешуі: Теңдеудің мүмкін мәндер жиынын анықтайық: {𝑥+1>0,4𝑥−5>0⇒{𝑥>−1,𝑥>1,25

х — айнымалысының мүмкін мәндер жиыны (1,25;+∞) аралығы болады.

𝑥+1=4𝑥−5 теңдеуін шешіп, 𝑥=2 мәнін аламыз. Табылған шешім мүмкін мәндер жиынында жатады.

Жауабы: 2.

Мысал-2. 𝑙𝑜𝑔6(2𝑥2−𝑥)=1−𝑙𝑜𝑔62 теңдеуін шешейік.

Шешуі: теңдеудегі 1 санын логарифмнің 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑎=1 (1) қасиетін қолдана отырып,берілген теңдеудің негізі бойынша

𝑙𝑜𝑔6(2𝑥2−𝑥)=𝑙𝑜𝑔66−𝑙𝑜𝑔62 теңдеуін аламыз.

Енді 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏−𝑙𝑜𝑔𝑎𝑐=𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏𝑐 қасиетін қолдана отырып, теңдеудің оң жағындағы айырманы бөлшек түріне келтіреміз.

𝑙𝑜𝑔6(2𝑥2−𝑥)=𝑙𝑜𝑔6(62) ,

𝑙𝑜𝑔6(2𝑥2−𝑥)=𝑙𝑜𝑔63,

2𝑥2−𝑥−3=0, теңдеуінің шешімі 𝑥=−1,𝑥=1,5.

Табылған мәнді теңдеуге қойып тексереміз:

1) 𝑙𝑜𝑔6(2𝑥2−𝑥)=1−𝑙𝑜𝑔62,

𝑙𝑜𝑔6(2∙(−1)2−(−1))=𝑙𝑜𝑔63

𝑙𝑜𝑔63=𝑙𝑜𝑔63,

2) 𝑙𝑜𝑔6(2𝑥2−𝑥)=1−𝑙𝑜𝑔62 𝑙𝑜𝑔6(2∙(1,5)2−1,5)=𝑙𝑜𝑔63 𝑙𝑜𝑔63=𝑙𝑜𝑔63

Жауабы: -1; 1,5.

3. Жаңа айнымылыны енгізу тәсілі.

Мысал-1. 2𝑙𝑜𝑔32𝑥−7𝑙𝑜𝑔3𝑥+3=0 теңдеуін шешейік.

Шешуі: 𝑙𝑜𝑔3𝑥 өрнегін 𝑡 арқылы өрнектейік.

2𝑡2−7𝑡+3=0 теңдеуін аламыз, теңдеудің шешімдері 𝑡1=3,𝑡2=0,5.

Енді x айнымалысының мәндерін анықтайық:

1)𝑙𝑜𝑔3𝑥=3,𝑥=27

2) 𝑙𝑜𝑔3𝑥=12,𝑥=√3

Табылған мәндерді теңдеуге қойып тексереміз:

1) 2𝑙𝑜𝑔3227−7𝑙𝑜𝑔327+3=0, 2∙32−7∙3+3=18−21+3=0,0=0.

2) 2𝑙𝑜𝑔32√3−7𝑙𝑜𝑔3√3+3=0 ,2∙(12)2−7∙12+3=0,12−72+3=0,0=0.

𝑥=√3,𝑥=27 мәндері теңдеуді қанағаттандырады.

Жауабы: 27;√3.

4. Мүшелеп логарифмдеу тәсілі.

Мысал-1. 𝑥𝑙𝑜𝑔2𝑥−3=16 теңдеуін шешейік.

Шешуі: Берілген теңдеуді дәреженің қасиетін пайдаланып,

𝑥𝑙𝑜𝑔2𝑥∙𝑥−3=16 , 𝑥𝑙𝑜𝑔2𝑥=16𝑥3 былай жазып алайық. Шыққан теңдеуді негізін 2-ге тең етіп логарифмдейік және теңдіктің оң жағын 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏+𝑙𝑜𝑔𝑎𝑐=𝑙𝑜𝑞𝑎(𝑏∙𝑐) (3) қасиетті пайдаланып, көбейтіндіні қосындымен алмастырайық: 𝑙𝑜𝑔2𝑥∙𝑙𝑜𝑔2𝑥=𝑙𝑜𝑔216+𝑙𝑜𝑔2𝑥3, 𝑙𝑜𝑔22𝑥=4+3𝑙𝑜𝑔2𝑥, 𝑙𝑜𝑔22𝑥−3𝑙𝑜𝑔2𝑥−4=0.

Енді 𝑙𝑜𝑔2𝑥 өрнегін 𝑡 арқылы өрнектейік. Сонда 𝑡2−2𝑡−4=0 теңдеуін аламыз. Бұл теңдеудің шешімдері 𝑡1=4,𝑡2=−1.

Енді x айнымалысының мәндерін анықтайық:

1)𝑙𝑜𝑔2𝑥=4,𝑥=16

2) 𝑙𝑜𝑔2𝑥=−1,𝑥=12

Табылған мәндерді теңдеуге қойып тексереміз:

1) 16𝑙𝑜𝑔216−3=16,164−3=16,16=16.

𝑥=16 мәні теңдеуді қанағаттандырады.

2) 12𝑙𝑜𝑔212−3=16,12−1−3=16, 24=16,16=16.

𝑥=12 мәні теңдеуді қанағаттандырады.

Жауабы: 12; 16.

Логарифмдік теңдеулерді шешу барысында бұл берілген тәсілдерге келмейтін теңдеулер беріледі. Мысалға негіздері әртүрлі логарифмдік теңдеулер кездеседі. Мұндай жағдайда жаңа негізге көшу формуласын қолданамыз.

Жалпы логарифмдік теңдеулерді шешу үшін түрлі теңдеулер мен теңсіздіктерді, теңсіздіктер жүйелерін сабақтастырып оқыту қажет екеніне көзіміз жетеді.

Адылханова Айгуль Бакытбековна
 Авиация колледжі,
математика пәнінің оқытушысы

 

Қолданылған әдебиеттер тізімі:

1. «Алгебра және анализ бастамалары». Алматы «Атамұра» 2019, 10 сынып, А.Н.Шыныбеков, Д.А. Шыныбеков, Р.Н.Жумабаев.

2. «Алгебра және анализ бастамалары».Алматы «Мектеп»2014, 10 сынып,

А.Е .Әбілқасымова, З.А.Жұмағұлова, К.Д. Шойынбеков, В. Е. Корчевский


ПІКІР ҚАЛДЫРУ