Математикада тек қана обьектілер емес (сан, фигура, шама т.с) олардың арасындағы қатынастар, байланыстар да зерттеледі. Натурал сан ұғымын қалыптастыру — бастауыш математика курсының негізгі ұғымы және жалпы математика сандар арасындағы әртүрлі өзара байланысты зерттей отырып дамиды.
Жоспар
Кіріспе
I Шамалардың және сандардың қатынасы
- Шамалардың қатынасы, сандардың қатынасы
- Қатынас мүшелерінің қасиеттері, кері қатынастар
II Бастауыш математика курсында қатынастарды оқыту
- Қатынас ұғымы. Қатынастың қасиеттері
- Сәйкестік туралы ұғым
Қорытынды
Әдебиеттер
Кіріспе
Математикада тек қана обьектілер емес (сан, фигура, шама т.с) олардың арасындағы қатынастар, байланыстар да зерттеледі. Натурал сан ұғымын қалыптастыру — бастауыш математика курсының негізгі ұғымы және жалпы математика сандар арасындағы әртүрлі өзара байланысты зерттей отырып дамиды.
Геометрияда түзулердің параллельдік, перпендикулярлық, фигуралардың теңдік, ұқсастық т.с.с. геометриялық обьектілердің арасындағы әр түрлі қатынастарды зерттейді.
Жиындарды салыстырып, олар қиылысады немесе тең, біреуі екіншісіне тиісті, т.с.с. яғни жиындар арасында да қатынастар орнатылады.
Сандардың, геометриялық фигуралардың, жиындардың және басқа да обьектілердің арасындағы белгілі бір қатыстар туралы біле отырып, оларда қандай ортақ қасиет бар екенін, әртүрлі қатыстардың жиынын қалай классификациялауға болатынын қарастырамыз.
І. Шамалардың және сандардың қатынасы.
1.1 Шамалардың қатынасы, сандардың қатынасы.
Бір текті екі шаманың қатынасы деп бір шаманың екінші шамадан неше есе артық екендігін немесе ол, осы екінші шаманың қандай бөлігі екендігін көрсететін санды атайды. Мысалы; 4 километрдің 2 километрге қатынасы 2-ге тең, ал 20 сантиметрдің 1 метрге қатынасы 0,2-ге тең.
Бірінші жағдайда қатынас бір текті екі шаманың біреуі (4 км) екіншісінен (2 км-ден) неше есе артық екендігін көрсетеді, ал екінші жағдайда 0,2 қатынасы бірінші шама (20 см) екінші шаманың (1 л/-дің) қандай бөлігі екендігін көрсетеді.
Бұл анықтамаға карағанда бір текті шамалардың қатынасы дерексіз сан екендігі көрінеді.
Әдетте шамалардың орнына олардың сан мәндері алынады. Бұдан қашан болса да шамалардың қатынасының орнына осы шамалардың мәндерін көрсететін сандардың қатынасын алуға болады деп қорытынды шығаруға болады.
Сандардың қатынасы
Сандарды бөлуді қарастырғанымызда біз екі санның қатынасы бір санды екіншісіне бөлгенде шығатын бөлінді екендігін тағайындаған едік. Бөлшектерді енгізуге байланысты бөлуді барлық жағдайларда (әрине, бөлуден басқаларында) орындауға мүмкіншілік туды.
Олай болса, екі санның арасындағы қатынасты анықтау дегеніміз бірінші сан екінші саннан неше есе артық екендігін немесе бірінші сан екіншінің қандай бөлігі екендігін білу деген сөз деп айтуға болады.
Екі санның қатынасы (бөлінді) бірге тең болса, онда бұл — осы екі санның тең екендігін көрсетеді; егер қатынас бірден үлкен болса, онда ол — бірінші сан екінші саннан неше есе артық екендігін көрсетеді, егер қатынас бірден кіші болса, онда ол — бірінші сан екіншінің қандай бөлігі екендігін көрсетеді.
Жоғарыда айтылған анықтамадан, берілген а мен а сандарының b қатынасы, оны q-ға көбейткенде а шығатын сан деп айтуымызға болады.
Әдетте қатынас былай жазылады: a:b=q; a саны қатынастың алдыңғы мүшесі, Ь саны оның жалғас мүшесі, ал — қатынас деп аталады.
Сандарды әріптермен белгілегенде а:Ь жазуы кейде бөлу амалын орындауды емес, бөлудің нәтижесін көрсететінін өскерте кетейік. Осыған сәйкес а:Ь жазуына а санының Ь санына қатынасының белгісі деп карауға болады.
1.2. Қатынас мүшелерінің қасиеттері, кері қатынастар.
Қатынастың алдынғы мүшесі бөлінгіш, жалғас мүшесі бөлгіш, ал қатынас бөлінді болатындықтан, а:б = q қатынастың қасиеттері бөлу амалы компоненттерінің қасиетіндей болады, атап айтқанда, ол қасиеттер мынадай:
1) Алдыңғы мүше жалғас мүше мен қатынастың көбейтіндісіне тең: a = bq.
- Жалғас мүше алдыңғы мүшені қатынаска бөлгендегі бөліндіге тең: b = a:q.
- Егер алдыңғы мүшені бірнеше есе арттырса немесе жалғас мүшені сонша есе кемітсе, онда қатынас сонша есе артады: (ав):Ь = (де); (а:е): Ь= (q :в); бұл жағдайлардыц екеуінде де қатынас е есе артты.
- Егер апдыңғы мүшені бірнеше есе кемтісе немесе жалғас мүшені сонша есе арттырса, онда қатынас сонша есе кемиді: (а:с): b = (q:e) немесе a🙁be) = (q:e); бұл жағдайлардың екеуінде де қатынас е есе кеміді.
5) Егер алдыңғы мүшені де, жалғас мүшені де бірдей сан есе арттырса немесе кемітсе, онда қатынас езгермейді: (ас):( be)- b немесе (а:е):( b—e)-q; бұл жағдайлардың екеуінде де қатынас өзгерген жоқ. Қатынастың қасиеттеріне сүйеніп: 1) қатынастың кез келген мүшесін табуға, 2) бөлшек сандардын қатынасын бүтін сандардың қатынасымен алмастыруға, 3) қатынастың мүшелерін қысқартуға болады.
6) Алдыңғы мүше кез келген сан бола алады; жалғас мүше нольдөн басқа кез келген сан бола алады; ноль бола алмайтын себебі — нольге бөлуге болмайды.
Кері қатынастар
Егер екі қатынастың біреуінін алдыңғы мүшесі екіншісінін жалғас мүшесі, ал біріншісінің жалғас мүшесі екіншісінің алдыңғы мүшесі болып табылса, онда мұндай қатынастар кері қатынастар деп аталады; мысалы, 16:8 = 2 мен 8:16=1/2 кері қатынастар.
Берілген қатынасқа кері қатынас шығарып алу үшін, бірді осы берілген қатынасқа бөлу керек.
Бөлімдері немесе алымдары, бірдей болған жағдайларда, бөлшек сандардың қатынасын бүтін сандардың қатынасымен оңай алмастыруға болады.
Бірінші жағдайда, бөлшек сандардың қатынасын бүтін сандардың қатынасымен алмастырудағыдай, бөлшектердін қатынасы олардың тікелей алымдарының қатынасына тең болады; екінші жағдайда бөлшектердің қатынасы олардың бөлімдерінің кері қатынасына тең болады.
Екі қатынастың теңдігі пропорция деп аталады Мысалы, егер a: b—q және c:d=q болса, онда a:b=c:d теңдігі пропорция деп аталады. Пропорция жасайтын төрт сан пропорционал сандар деп аталады; бұлардың біріншісі мен төртіншісі (а мен d) пропорцияның шеткі мүшелері, ал екіншісі мөн үшіншісі (Ь мен с) орта мүшелері деп аталады.
Тура пропорционал шамалар. Егер А мен В екі шама бұлардың біреуінің кез келген екі мәнінің қатынасы екіншісінің бұларға сәйкес мәндерінің қатынасына тең боларлықтай байланыста болса, онда мұндай шамалар тура пропорционал шамалар деп аталады. Мысалы, егер а],а2,а2…. әріптерімен А шаманың мәндерін, ал ЬХ,Ь2,ЪУ… әріптерімен В шаманың оларға сәйкес мәндерін белгілесек, онда А мен В шамалар а, b, a, b болғанда тура пропорционал болады.
Пропорционал шамалардың мысалы: заттың бағасы тұрақты болғандағы қүны оның массасына тура пропорционал; шеңбердің ұзындығы оның радиусына немесе диаметріне тура пропорционал; бір қалыпты қозғалатын дененің жүретін жолы қозғалыс уақытына тура пропорционал.
Тура пропорционалдықтың белгісі. Егер берілген екі шаманың біреуінің қандай да болса бір мәні бірнеше есе артқанда немесе кемігенде, екіншісінің сәйкес мәні сонша есе артатын немесе кемитін болса, онда бұл екі шама тура пропорционал шамалар болады. Яғни біреуінің кез келген екі мәнінің қатынасы екіншісінің сәйкес екі мәнінің қатынасына тең болады.
Кері пропорционал шамалар. Егер А мен В шамалары біріне — бірі біріншісінің екі мәнінің қатынасы екіншісінің сәйкес екі мәнінің кері қатынасына тең боларлықтай түрде тәуелді болса, онда мұндай шамалар кері пропорционал шамалар деп аталады.
Егер Мысалы, егер ах,а2,аг…. әріптерімен А шаманың мәндерін, ал bl,b2,br… әріптерімен В шаманың оларға сәйкес мәндерін белгілесек, онда А мен В шамалар кері пропорционал болу үшін а] b2 ax b3. Кері пропорционал шамалардың мысалы: арақашықтық тұрақты болғанда, бір қалыпты қозғалыстың жылдамдығы жүріс уақытына кері пропорционал; температура тұрақты болғанда, газдың көлемі қысымға кері пропорционал; ауданы өзгермейтін тік төртбұрышты участоктың табаны мен ені өзара кері пропорционал.
Кері пропорционалдықтың белгісі. Егер екі шаманың біреуінің бір мәндерін бірнеше есе арттырғанда немесе кеміткенде, екінші шаманың сәйкес мәндері бірінші жағдайда сонаш есе кемісе, ал екінші жағдайда сонша есе артса, онда мұндай шамалар кері пропорционал болады.
Пайыздар. Бір санның жүзден бір бөлігі осы санның пайызы деп аталады. Пайыздың анықтамасынан пайзы бөлімі 100 болып келген бөлшектерді өрнектеудің айрықша тәсілі екендігі көрінеді. Пайыз ұғымының түрлендірудің екі түрімен байланысы бар:
Пайыздық есептеулер күнделікті тұрмыста кең түрде қолданылады. Пайыздар, әсіресе жинақ кассаларындағы, банкалардағы, сауда орындарындағы ақша есептерінде басқа да есеп — қисап жұмыстарында жиі қолданылады.
Қаржылық операцияларының қайсыларында болса да есептеулер жүргізілетін шамаларға арнаулы атаулар қолданылады. Мысалы, банк немесе жинақ кассасына салынған ақша бастапқы капитал деп аталады; бастапқы капитал бір жылдың ішінде неше пайызға артуы (немесе кемуі) керек екендігін көрсететін сан пайыздық такса деп аталады; бастапқы капиталдың белгілі бір уақыттың ішінде берген өсімі пайыздық ақша неиесе тек, пайыз деп аталады. Пайыздық ақшамен қоса есептегенде бастапқы капитал өскен капитал деп аталады. Қаржылық есеп — қисаптарда бір жылда 360 күн, ал бір айда 30 күн бар деп есептеледі.
Егер пайыз тек бастапқы капиталдан (бір рет) есептелетін болса, онда оны жай пайыз дөп, ал егер ол өскен капиталдан (бірнеше рет) есептелетін болса, онда оны күрделі пайыз деп атайды. Күрделі пайыздар финанстық есептеулерде, халықтың өсуін, жануардың немесе өсімдіктің т.с.с. бір түрінің көбеюін есептегенде жиі қолданылады.
Пайызға берілген есептердің типтері және оларды шығарудың тәсілдері
Практикалық тұрмыста берілген есептердің көбінесе мынадай үш типі кездеседі; 1) берілген саннан пайызды табу; 2) пайызы бойынша санды табу; 3) екі санның пайыздық қатынасын табу. Финанстық операцияларға байланысты пайыздарға берген есептер айрықша орын алады.
ІІ. Бастауыш математика курсында қатынастарды оқыту.
2.1. Қатынас ұғымы, қатынастың қасиеттері.
Математикада тек қана объектілер емес (сан, фигура, шама т.с) олардың арасындағы қатынастар, байланыстар да зерттеледі. Натурал сан ұғымын қалыптастыру — бастауыш математика курсының негізгі ұғымы және жалпы математика сандар арасындағы әртүрлі өзара байланысты зерттей отырып дамиды. Мысалы: 5 саны 2 санынан артық;
10 саны 8 санынан 2-ге артық;
8 саны 7 санынан кейін келеді, яғни сандар өзара әртүрлі «артық», «қаншаға артық», «кейін келеді» қатынастары арқылы байланысқан.
Геометрияда түзулердің параллельдік,перпендикулярлық, фигуралардың теңдік, ұқсастық т.с.с. геометриялық обьектілердің арасындағы әр түрлі қатынастарды зерттейді.
Жиындарды салыстырып, олар қиылысады немесе тең, біреуі екіншісіне тиісті, т.с.с. яғни жиындар арасында да қатыстар орнатылады.
Математикада көбінесе екі обьектінің арасындағы қатынас қарастырылады. Оны бинарлық қатынас деп атайды. Біз тек қана бинарлық қатынасты қарастыратын болғандықтан, алдағы уақытта «бинарлық» деген сөзді қолданбаймыз.
Сандардың, геометриялық фигуралардың, жиындардың және басқа да обьектілердің арасындағы белгілі бір қатыстар туралы біле отырып, оларда қандай ортақ қасиет бар екенін, әртүрлі қатыстардың жиынын қалай классификациялауға болатынын қарастырамыз. Өзімізге белгілі әртүрлі қатынастардың арасында қандай ортақ мәселе бар екенін анықтайық.
Х={3,4,5,6,8} сандар жиынын қарастырайық. Бұл сандардың арасында «артық» қатынасы бар, 4>3, 5>3, 8>3, 5>4, 6>4, 8>4, 6>5,8>5, 8>6
Осы сандардың арасындағы «1-ге артық» деген қатынасты қарастырайық «4саны 3-тен 1-ге артық», «5 сан 4-тен 1-ге артық», «бсаны 5-тен 1-ге артық» болады.
Берілген жиынның элементтерінің арасында «2есе кем» деген де қатынасты орнатуға болады; «3 саны 6 — дан 2 есе кем, «4 саны 8-ден 2есе кем».
Бұл сандардың арасында әлі де бірқатар қатынастар болатынын қарастыруға болады. Біз жоғарғыдағы үш қатынаспен шектелейік.
Мына жағдайға көңіл аударамыз: әрбір қатынасты қарастырғанда элементтері берілген X жиынынан алынған реттелген қостардың жиынын құрдық. «артық»қатысы бұл жиын {(4,3), (5,3), (4,3), (6,3) (8,3), (5,4), (6,4), (8,4), (6,5), (8,5), (8,6),} «1-ге артық» қатысы үшін {(4,3),(5,4),(6,5)}, ал «2-есе кем» қатысы үшін {(3,6),(4,8)} болады. Сонымен, қарастырылған әрбір қатынас Х={3,4,5,6,8} жиынының элементтерінен құрылған қостардың жиынымен анықталады. Реттелген қостардың берілген жиынның өзіне — өзінің декарттық көбейтіндісінің элементтері немесе оның ішкі жиыны болатыны белгілі. Жоғарыда қарастырылған «артық», 1-ге артық, 2-есе кем» қатынастары
Х*Х = {(3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (3,8), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (4,8), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (5,8), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (6,8), (8,3), (8,4), (8,5), (8,6), (8,8)} жиынның ішкі жиыны екенін байқау қиын емес.
Математикада қатынас реттелген қостарды X жиынының элементтерінің арасындағы қатынас деп атайды.
Анықтама: X жиынының элементтерінің арасындағы немесе X жиынындағы қатынас деп Х*Х декарттық көбейтіндісінің кез-келген ішкі жиынын атайды. Қатынасты латынның үлкен әріптерімен белгілейді: P,Q,R,S т.с.с. Сонымен егер X жиынының элементтерінің арасындағы қатынас R болса, онда R(X*X) болады.
Егер қатынас арқылы X жиынында берілсе, оны нүктелердің және оларды қосатын стрелкалардан (бағытталған сызықтардан) тұратын ерекше сызба арқылы көрнекті түрде беруге болады. Бұл сызбаны граф деп атайды.
Мысалы, Х={2,4,6,8,12} жиынның элементтерінің арасындағы «артық» қатынасының графын салайық. Ол үшін осы жиынның элементтерін нүктелер арқылы кескіндеп, өзара «артық» қатысы орындалатын нүктелерді стрелкамен қосамыз. 4/2 болғандықтан стрелка 4-тен 2-ге қарай жүргізіледі.
Осы қатынас орындалатын барлық нүктелер стрелкамен қосылады. Сонымен,Х={2,4,6,8,12} жиынының элементтерінің арасындағы «артық» қатынасының графы алынады. Берілген нүктелер графтың төбелері, ал оларды қосатын стрелкалар графтың қабырғалары деп аталады.
Берілген X жиынында «еселі» деген қатынасты қарастырып, оның графын салайық. Алдыңғы мысалдағыдай X жиынының барлық элементтерін нүктелер арқылы бейнелеп, бірімен — бірі «еселі» қатынаста болатын элементтерді стрелкамен қосамыз. X жиынындағы әрбір элемент өзіне — өзі еселі болғандықтан бұл графта басы да ұшы да беттесетін стрелкалар болады. Мұндай стрелкаларды ілгектер деп атайды.
Қатынастың берілу тәсілдері
Анықтама бойынша X жиынының элементтерінің арасындағы R қатынасы Х*Х жиынының ішкі жиыны, яғни элементтері реттелгөн қостар болатын жиын. Сондықтан қатынастың да берілуі мағынасы жағынан жиынның берілу тәсілдері сияқты болады.
- X жиынында берілген Rқатысы Xжиынынан алынған осы қатынаспен байланысқан элементтердің реттелген қостарын тізіп жазу арқылы беріледі.
Бұл жағдайда қатынастың элементтерін тізіп жазу формасы әртүрлі болуы мүмкін. Мысалы, Х={4,5,6,7,9} жиынындағы қандай да бір R қатысының берілуін мынандай қостар жиыны {(5,4), (6,4), (6,5), (7,4), (7,5), (7,6), (9,4), (9,5), (9,6), (9,7)} немесе граф арқылы беруге болады.
- Көп жағдайда X жиынындағы Rқатынасы осы қатынаста болатын элементер қостарының жиынының сипаттамалық қасиетін көрсету арқылы беріледі. Бұл қасиет
екі айнымалысы бар сөйлем ретінде тұжырымдалады. Мысалы, N натурал сандар жиынындағы мына қатыстар: «х саны у-тен артық» деген сөйлемді «х/у»,ал «х саны у-тен 3 есе кем» деген сөйлемді «у=х/3 түрінде сәйкес теңсіздік, теңдік арқылы көрсетуге болады. Жазықтықтағы түзулер арасындағы «перпендикулярлық», «параллельлдік», қатыстары үшін х!у,х//у символдары қолданылады.
Үшбұрыштар арасындағы «теңдік», «ұқсастық», «конгруэнтті» қатынастары үшін ABC = А В С; ABC- ABC, ABC = A B C ерекше символдар қолданылады. Осы көрсетілген жазулардың жалпыламасы ретінде X элементі У элементімен R қатыста болады дегенді xRy түрінде жазады.
Бастауыш мектеп математикасында да, орта мектеп математикасында да қатынас ұғымы жалпы түрде енгізілмейді, тек қана әртүлі обьектілер арасындағы нақты қатынастар қарастырылады.
Бастауыш мектеп математикасында сандар арасындағы қатынастарға ерекше көңіл бөлінеді. Оларды қысқа формада жазылған екі айнымалысы бар сөйлем ретінде, таблица толтыру арқылы т.с.с. түрде береді. Қатынастардың көп түрімен бстауыш мектеп оқушылары мазмұнды есептер (мәтіндік есептер) шығаруда кездеседі. Мысалы: «Бір сөредегі кітап саны екінші сөредегіге қарағанда 3 есе артық. Бірінші сөреден 8 кітапты алып, екінші сөреге 5 кітапты қойғанда екінші сөредегі кітап біріншіге қарағанда 17-ге кем болды. Әрбір сөреде қанша кітап болды» Бұл есепті шығарғанда оқушылар «есе артық», «кем» қатынастарын жақсы білуі керек.
Қатыстың қасиеттері
Математикада екі обьектінің арасында әртүрлі қатынастар қарастырылатынын тағайындадық. Олардың әр қайсысын қандай да бір Х жиынында қарастырылып, қостардың жиынын береді.
Барлық қатысты қалай зерттеп шығуға болады? Ол үшін қатыстың қасиеттерін анықтап, оларды ортақ қасиеттері бойынша классификациялау керек.
Түзулер жиынында параллель, перпендикуляр тең, ұзын қатыстарын қарастырайық. Осы қатынастардың графын салайық.
Параллельдік және теңдік қатынастарының графтарын қарастырайық. Олардың ілгектері бар. Бұл X жиынында алынған кез — келген кесінді өзіне — өзі тең екендігін көрсетеді. Параллельдік және теңдік қатынастары рефлексивтік қасиетке ие, немесе олар рефлексивті деп аталады.
X жиынындағы кез — келген элемент өзі — өзімен R қатыста болса, онда R қатысы рефлексивті деп аталады.
Егер R қатынасы рефлексивті болса, онда оның графының барлық төбесінде ілгек болады. Бұған кері тұжырым да дұрыс болады, яғни әрбір төбесінде ілгек болатын граф қандай да бір рефлексивті қатыстың графы болады.
Рефлексивтік қасиеті болмайтын да қатыстар болады. Мысалы, перпендикулярлық қатысы: X жиыныныда өзі -өзімен перпендикуляр болатын кесінді болмайды.
Енді кесінділердің параллельдік, перпендикулярлық және теңдік қатыстарының графына көңіл аударайық. Бұл графтардың мынада: егер екі элементті бір бағытта қосатын стрелка болады. Бұл стрелкалар:
1)егер бір кесінді екінші кесіндіге параллель болса, онда екінші кесінді бірінші кесіндіге де параллель,
2) егер бір кесінді екінші кесіндіге перпендикуляр болса.онда екінші кесінді бірінші кесіндіге де перпендикуляр,
3)егер бір кесінді екішісіне тең болғандығын көрсетеді.
Осы параллельдік, перпендикулярлық, теңдік қатынастары симметриялық қасиетке ие немесе симметриялы деп аталады, яғни R қатынасы симметриялық.
Симметриялық қатынастың графының ерекшелігі мынада: х-тен у-ке қарай баратын стрелкамен қоса,у-тен х-ке баратын стрелкамен қоса у-тен х-ке қарай баратын стрелка болатын граф симметриялық қатыстың графы болады.
Симметриялық қасиеті болмайтын қатысы болады, мысалы, кесінділер арасындағы «ұзын» қатысы.
Осы қатыстардың графын қарастырайық. Оның ерекшелігі — егер стрелка графтың екі төбесін қосса, ол жалғыз болады. «Ұзын» қатысының антисимметриялық қасиеті бар немесе оны антисимметриялы деп атайды.
Егер X жиынындағы әртүрлі х,у элементтері үшін х элементі у-пен R қатыста болып, ал у элементі х элемөнтімен R қатыста болмаса, онда R қатысы антисимметриялы.
Антисимметриялық графтың графигінің мынандай ерекшелігі бар: егер графтың екі төбесі қайтымды стрелкамен қосылған болса, онда бұл стрелка жалған болады. Бұған кері тұжырым да дұрыс болады.
Барлық қатынастар симметриялық, антисиммөтриялық болып бөлінеді деп ойлауға болмайды. Симметриялық та, антисимметриялық та болмайтын қатынастар болады.
Параллельдік, перпендикулярлық, теңдік, ұзын қатыстарының графтарына тағы да көңіл аударайық: мұнда бірінші элементтен екіншіге, екіншіден үшінші элементке баратын стрелкамен қатар бірінші элементтен үшінші элементке баратын стрелка бар болсын.
Графтың бұл қасиеті берілген қатыстардың транзитивтік қасиетке ие болатынын көрсетеді.
Егер X жиынындағы х элементі у-пен R қатыста, ал у элементі z-пен R қатыста болуымен қоса х элементі де z -пен R қатыста болса, онда R транзитивтік қатыс деп аталады.яғни R транзитивті.
Транзитивтік қатыстың графында кез-келген үш элемент үшін, х-тен у-ке және у-тен z-ке баратын стрелқаның болуымен қатар х-тен у-ке баратын стрелка болады. (64-сызба) Осы айтылғанға кері тұжырым да үнемі орындалады.
Мысалы, жанұяда төртбала бар: Айнұр, Балғын, Арнұр, Талант. Осы балалардың арасындағы «туыстық» қатынас транзитивтік болады. Транзитивтік қасиеті болмайтын қатыстар болады. Мысалы, кесінділердің перпендикулярлығы транзитивті болмайды, егер кесіндісі с-ға перпендикуляр болмайды.
Осы көрсетілген қасиеттер қатынастарды салыстыруға мүмкіндік береді: жоғарыда қарастырылған параллельдік, теңдік қатынастары рефлексивтік, симметриялық, транзитивтік, ал «ұзын» қатысы антисимметриялы және транзитивтік.
Эквиленттік қатыс Бөлшектер жиынында «теңдік» қатынасы берілсін. Осы қатыстың қандай қатыстары бар екенін граф арқылы анықтайық:
- Графтың барлық төбелерінде ілгек болғандыықтан
ол рефлекисвті ; - Графтың төбөлерін қосатын стрелкалар қайтымды
болғандықтан ол симметриялы; - х бөлшегі у-ке тең, у бөлшегі z-ке тең болғандықтан
х бөлшегі у-ке тең болады. Сондықтан бұл қатынас
транзитивті.
Егер X жиынындағы R қатысы рефлексивті.симметриялы және транзитивті болса, онда R эквивалентті қатыс деп аталады. Эквилентті қатынасқа түзулердің параллельдігі, фигуралардың теңдігі мысал бола алады.
Математикада эквиаленттік қатынасы ерекше қарастырады. Бөлшектердің теңдігінің графында үш ішкі жиын көрсетілген; Бұл ішкі жиындар қиылыспайды, ал олардың бірігуі X жиынын береді, яғни теңдік қатысы X жиынын қос -қостан қиылыспайтын кластарға бөледі.
Егер X жиынында эквиваленттік қатынас берілсе, ол осы жиынды қос — қостан қиылыспайтын ішкі жиындарға бөледі.
Кері тұжырым да дүрыс болады: егер X жиынында берілген қандай да бір қатыс оны қос-қостан қиылыспайтын ішкі жиындарғабөлсе,онда бұл қатыс эквивалентті болады.
Егер эквиваленттік қатынастың аты болса, онда кластарға да сол ат беріледі. Мысалы, егер кесінділер жиынында «теңдік» қатысы берілсе, онда кесінділер жиыны тең кесінділер класына бөлінеді. Ұқсастық қатысы үшбұрыштар жиыны ұқсас үшбұрыштар класына бөлінеді.
Жиынды мұндай кластарға бөлудің мынандай маңызы бар: Әрбір эквивалентті класта эквивалентті элементтер бар, яғни бұл элементтердің берілген қатынасқа байланысты бір-бірінен айырмашылығы жоқ. Сондықтан эквиваленттік класс өзінің элементтерімен анықталады.
Тең бөлшектер класының кез — келгенін осы кластағы кез — келген бөлшек арқылы көрсетуге болады. Эквивалентті класты оның бір элементі арқылы көрсету барлық элементтер жиынының орнына осы кластың жеке элементтерін зерттеу жетккілікті екенін көрсетеді. Реттік қатынас Мынандай мысалдарды қарастырайық
1) Сыныптағы оқушылардың жиынында реттілік орнату үшін оларды бойларына қарай сапқа түрғызуға болады. Практикада бұл процесті жүзеге асыру үшін оқушыларды қос-қостан салыстырып, олардың арасында бойы «ұзын» қатынасын қарастырамыз.
Бұл қатынас антисимметриялы және транзитивті
2) Сыныптағы оқушылар жиынын олардың жас мөлшеріне қарап реттеуге де болады, яғни « жасы үлкен» қатысы енгізіледі. Бұл қатынастың да антисимметриялы және транзитивті екенін байқаймыз.
3) Қазақ алфавитіндегі әріптер жиыны «кейін келеді» деген қатынас арқылы реттелген. Бұл қатынас та антисимметриялы және транзитивті.
X жиынында берілген R қатынасы антисимметриялы және транзитивті болса, оны реттік қатынас деп атайды. Х={2,8,12,32} жиынының элементтерін «кем» қатынасы арқылы реттеуге болады немесе «еселі» қатынасымен де реттейік.
«Кем» және «еселі» қатынастары берілген жиынды әртүрлі реттейді. «Кем» қатынасы X жиынындағы кез-келген екі элментті салыстырса, «еселі» қатысында мұндай қасиет жоқ. Мысалы,12 және 8 сандары бұл қасиетпен байланыспағандықтан; 8 саны 12-ге немесе 12 саны 8-ге еселі емөс.
Барлық қатынастар не эквивалентті, не реттік болып бөлінеді деп ойлауға болмайды. Эквивалентті де, ретті де болмайтын қатыстың түрлері өте көп.
Бастауыш мектепте «артық», «кем», «ұзын», «қысқа» қатыстары қарастырылып, сандардың және кесінділердің жиынында реттілік орнатылады.
Егер жиында реттік қатынас бар болса, онда ол реттелген жиын деп аталады. Мысалы, натурал жиынында «артық» қатынасы орындалады, яғни әрбір натурал сан өзінен бұрынғы саннан артық. Сондықтан N натурал сан өзінен бұрынғы саннан артық. Сондықтан N натурал сандар жиыны реттелген жиын болып табылады.
«Артық», «кем» қатынастары қатаң реттелген қатынас деп аталады. Осы қатынастармен қатар «артық немесе тең», «кем немесе тең» қатынастары қарастырылады. Бұл қатыстар да реттік қатынас болады. Оларды қатаң емес реттік қатынас деп атайды.
Қатаң емес реттік қатынастың графының ерекшелігі -оның төбесінде міндетті түрде ілгегі болады.
2.2 Сәйкестік туралы ұғым.
Екі жиынның элементтерінің арасындағы қандай да бір байланыс жиі қарастырылады. Осындай байланысты сәйкестік деп атайды. Мысалы, кесінділердің ұзындығын өлшегенде кесінді мен нақты сандардың арасында, жазықтықтағы нүктелер мен нақты сандар қосының арасында сәйкестік бар.
X және У жиындарының элементтерінің арасындағы сәйкестік деп олардың декарттық көбейтіндісінің ішкі жиыны болатын қостардың жиының айтады.
Ақырлы жиындардың арасындағы сәйкестік график арқылы көрнекті түрде бейнелеуге болады. Мысалы, X = {3, 5, 7, 9}, У = {4, 6} жиындарының арасындағы «артық» (үлкен) деген сәйкестік график арқылы көрсетейік. Ол үшін берілген жиындардың элементтерін нүктелер арқылы кескіндеп, X жиынының элементін көскіндейтін нүктеден У жиынының элементін кескіндейтін нүктені стрелкамен қосамыз, сонда элементтердің арасындағы «артық» сәйкестігі орындалуы керек. 5 > 4 болғандықтан стрелка 5 — тен 4 — ке қарай; 7 > 4, 7 > 6 болғандықтан 7 — ден 4 — ке, 7 — ден 6 — ға қарай т.с.с. бағытталуы тиіс.
Сонда шыққан сызба X және У жиындарының элементтерінің арасындағы «артық» деген сәйкестіктің графы болады.
X, У сандық жиындардың арасындағы сәйкестікті координаттық жазықтықтағы график арқылы да көруге болады. Ол үшін қандай да бір R сәйкестікте болатын сандардың қосын координаттық жазықтықтағы нүктелер арқылы бейнелейді. Сонда алынған фигура R сәйкестігінің графигі болады.
Жоғарыда қарастырылған мысалдағы «артық» сәйкестігінің графигін сызайық. Берілген сәйкестікте болатын сандардың қосын жазайық: (5,4), (7,4), (7,6), (9,4), (9,6). X жиынының элементтерін Ох осінің бойынан, У жиынының элементтерін Оу осінің бойынан алып, көрсетілген сандардың қосына сәйкес келетін нүктелерді координаттық жазықтықта белгілесек, X және У жиындарының элементтерінің арасындағы «артық» сәйкестігінің графигін аламыз.
Енді «артық» сәйкестігін X = R және У = {4, 6} жиындарында қарастырып, оның гафигін салайық. Бұл жағдайда X жиынының элементтері бүкіл Ох осінің бойындағы нүктелерден, ал У жиыны екі элементтен тұрады. X және У жиындарының элементтері үшін «артық» сәйкестігі берілгендіктен, X жиынындағы 4 — тен артық болатын сандарды Ох осінің бойындағы 4 санына сәйкес келетін нүктенің оң жағында орналасқан. Демек, абсциссасы (4; °°) аралығынан алынған, ал ординатасы 4 — ке тең болатын АВ сәулесі 4 — тен артық сандардың графигін береді.
АВ сәулесінің басы (4;4) нүктесі графикке енбейді, себебі 4 > 4 сәйкестігі жалған. Дәл осылайша, абсциссасы (6; °°) аралығынан, ординатасы 6 — ға тең болатын СД сәулесі 6 — дан үлкен сандардың графигі болады.
Сонымен, X = R, Ү = {4, 6} жиындарының арасындағы «арық» сәйкестігінің графигі А және С нүктелері енбейтін АВ және СД сәулелері болады.
Әртүрлі жиындар арасындағы бір ғана «артық» сәйкестігінің граиктерінің әртүрлі екенін көрдік.
Енді нақты сандар жиынында х = R, у = R болғанда (х > у ) «артық» сәйкестігінің графигін салайық. Абсциссасы мен ординатасы тең болатын сандар I және III кординаталық ширектерден өтетін биссектрисаның бойында жатады. Абсциссасы ординатасынан үлкен болатын нүктелер осы биссектрисаның төменгі жағына орналасады.
Жиындар арасындағы сәйкестік ұғымы математикадағы негізгі ұғымдардың қатарына жатады. Олай болатын себебі, бұл ұғым математикадағы функция және бейнелеу сияқты аса маңызды ұғымдарды анықтаудың негізі болып табылады. Сонымен қатар кез келген ғылымда объөктілердің өздері ғана емес, олардың арасындағы байланыстар да зерттеледі. Мысалы, географияда қалалар жиыны X және елдер жиыны У арасындағы «X қаласы У еліне қарайды» деген сәйкестік қарастырылады. Физикада «х денесінің массасы у-ке тең», химияда «х затының таңбасы у болады», математикада «х фигурасының ауданы у — ке тең» деген т.с.с. сәйкестіктер қарастырылады.
Кері сәйкестік X = {3, 5, 7}, У = {4, 6} жиындарының элементтерінің арасындағы R — «артық» сәйкөстігі берілсін. Сонда R = {5,4}, {7,4}, {7, 6} және оның графы 5 — сызбадағыдай болады.
Осы графтағы стрелкалардың бағытын кері өзгертейік. Сонда У және X жиындарының элементтерінің арасындағы «кем» сәйкестігінің графигі алынады.
Графы 5- сызбада кескінделген сәйкестік берілген R сәйкөстігіне кері сәйкестік деп аталып, R01 арқылы белгіленеді.
X және У жиындарының арасындағы сәйкестік R болса, онда У және X жиындарының арасындағы yRD1x болатындай RD1 сәйкестігі xRy болғанда және тек сонда ғана R сәйкестігіне кері сәйкестік деп аталады.
R және RD1 сәйкестері өзара кері сәйкестіктер деп аталады. Өзара кері сәйкестіктердің графиктерінің қандай ерөкшеліктері болатынын анықтайық.
R = {(5, 4), (7, 4), (7, 6)} сәйкестігінің графигін салайық (6 -сызба). RD1 = {(4, 5), (4, 7), (6, 7)} сәйкестігінің графигін салғанда қостың бірінші компонентін У жиынынан екінші компонентін X жиынынан алу керек. RD1 сәйкестігінің графигі R сәйкестігінің графигімен беттесетінін көреміз.
Бұл графиктерді ажырату өте қолайсыз. Сондықтан RD1 сәйкестігіндегі қостардың бірінші компонентін абсцисса осінен, екінші компонентін ордината осінен алу келісілген.
Мысалы, (5, 4) € R, онда (5, 4) € RD1.
Координаталары (5, 4) және (4, 5), жалпы жағдайда (х, у) және (у, х) болатын нүктелер I және III координаттық бұрыштардың биссөктрисасына қарағанда симметриялы болады. Сонымен, R сәйкестігіне кері R01 сәйкестігінің графигі R сәйкестінінің графигінің нүктелеріне I және III координаттық бұрыштар арқылы өтетін биссектрисаға қарағанда симметриялы нүктелерден тұрады. Сондықтан RD1 = {(4, 5), (4, 7), (6, 7)} болатын сәйкестіктің графигі 8 -сызбада бояп көрсетілген нүктелер жиынынан тұрады.
Натурал сандар жиынындағы R «х кем у-тен» сәйкестігі болса, оған кері RD1 сәйкестігі «х артық у — тен» болады. Кесінділер арасындағы «х кесіндісі у — тен ұзын» сәйкестігіне «х кесіндісі у — тен қысқа» деген сәйкестік кері болады.
Бастауыш мектептің математика курсында өзара кері сәйкестікке көп көңіл бөлінеді. Оқушылар 5 > 3 болғандықтан 3 < 5 екенін, егер АВ кесіндісі СД кесіндісінен ұзын болса, онда СД кесіндісі АВ кесіндісінен қысқа болатынын терең түсінуі керек.
Өзара бірмәндік сәйкестік. X және У жиындарының элементтерінің арасындағы барлық мүмкін сәйкестіктердің ішінен X жиынындағы әрбір элементке У жиынынан жалғыз элөмент және керісінше, У жиынының әрбір элементіне X жиынының жалғыз элементі сәйкес келетін сәйкестікті қарастырамыз. Мұндай сәйкестікті өзара бірмәнді сәйкестікдеп атайды.
Осындай сәйкестіктерге мысалдар қарастырайық.
- A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3, 4} болсын. Бұл жиындардың
элементтерінің арасындағы сәйкестік былайша көрсетілген.
А жиынындағы әрбір элементке В жиынындағы жалғыз элөмент сәйкес келеді. Сонымен қатар керісінше, В жиынындағы әрбір элементке А жиынынан жалғыз элемент сәйкес келеді. Сондықт ан A және В жиындарынының арасыандағы сәйкестік өзара бірмәнді болады.
- X координаттық түзудің бойындағы нүктелер жиыны, у = R
болсын. Координаттық түзуді енгізуге байланысты түзудегі әрбір
нүктеге бір нақты сан (сол нүктенің координатасы) сәйкес келеді және
кез — келген нақты санға түзудің бойынан бір нүкте сәйкес келеді.
Сонда бұл сәйкестік те өзара бірмәнді болады. - X — координаттық жазықтықтағы нүктелер жиыны, ал У — нақты
сандардың қостарының жиыны болсын. Егер жазықтықтағы әрбір
нүктеге нақты сандардың жалғыз қосы (нүктенің координаталары)
сәйкес келсе және нақты сандардың әрбір қосына жазықтықтан бір нүкте сәйкес келсе, онда жазықтықтағы нүктелер жиыны мөн нақты сандардың қостарының жиынының арасында өзара бірмәнді сәйкестік орнатылады.
Математиқаның бастауыш курсында өзара бірмәнді сәйкестік ұғымы айқын түрде қолданылмайды: оған санау және сандарды салыстыру процесі негізделген. Мысалы, 3 = 3 теңдігін түсіндіру үшін үш қызыл, үш көк шаршыны алып, әрбір қызыл шаршыға бір көк шаршыны сәйкес қояды (шаршыны бір — біріне беттестіріп қояды, оларды кесінділермен қосады т.с.с), яғни қызыл және көк түсті шаршылар жиындары арасында өзара бірмәнді сәйкестік орнатылады. 3 < 4 теңсіздігін көрсету үшін үш элементті жиын мен төрт элементті жиынның үш элементті ішкі жиындарының арасында өзара бірмәндік сәйкестік орнатылады.
Қорытынды.
Бастауыш мектеп математикасында да, орта мөктеп математикасында да қатынас ұғымы жалпы түрде енгізілмейді, тек қана әртүлі обьектілер арасындағы нақты қатынастар қарастырылады.
Бастауыш мектеп математикасында сандар арасындағы қатынастарға ерекше көңіл бөлінеді. Оларды қысқа формада жазылған екі айнымалысы бар сөйлем ретінде, таблица толтыру арқылы т.с.с. түрде береді. Қатынастардың көп түрімен бстауыш мектеп оқушылары мазмұнды есептер (мәтіндік есептер) шығаруда кездеседі. Мысалы: «Бір сөредегі кітап саны екінші сөредегіге қарағанда 3 есе артық. Бірінші сөреден 8 кітапты алып, екінші сөреге 5 кітапты қойғанда екінші сөредегі кітап біріншіге қарағанда 17-ге кем болды. Әрбір сөреде қанша кітап болды» Бұл есепті шығарғанда оқушылар «есе артық», «кем» қатынастарын жақсы білуі керек. Бастауыш сыныпта қатынас ұғымын оқытуды қорытындылай келе:
І.Қатынас ұғымын оқыту балалардың логикалық ой-өрісін дамытады, пәнге дегн қызығушылын арттырады.
- Қатынас ұғымын оқыту балалрдың теориялық алған білімдерін практикада қолдана білуге, шығармашылық дамуына әсер етеді.
- Қатынас ұғымын оқытуды практикада қолдануда балаларды ізденімпаздыққа, төзімділікке баулиды.
Пайдаланылған әдебиеттер
- Бантова М.А. и др. «Методика преподавания математика в
начальных классах». Москва «Просвеицение» 1976ж. - Байдыбекова Е., Ерғазиева Т. «Есептердің практикалық
танымдық жәнө тәрбиелік мәні». Бастауыш мектеп №2.1988ж. - Б.Баймұханов. Математика есептерін шығаруға үйрету.
- білқасымова А.Е., Көбесов А.К., Рахымбек Д., Кенеш Ә.С.
«Математиқаны оқытудың теориясы мен әдістемесі». Алматы
«Білім» 1998ж - А.Б.Жанәділ. «Математика сабақтарын түрлендіріп өткізу».
Бастауыш мектеп №8-9. 1998ж. 41 бет.
